模素数幂下奇异映射 $x \mapsto x^{x^n}$ 的不动点与有根闭游走计数

模 $m$ 的“自幂”映射 $x \mapsto x^x$ 及其模 $m$ 的广义形式 $x \mapsto x^{x^n}$ 因理论原因及其在密码学中的潜在应用而备受关注。在本文中，我们使用 $p$-进方法，主要是 $p$-进插值、Hensel 引理以及模 $p$ 的奇点提升，来计算当 $m$ 为素数幂时与这些映射相关的方程的不动点和有根闭游走的数量。特别地，我们引入了一种新技术，利用 Jacobian 矩阵的左核来提升多个未知数的多个同余式的奇异解。