有限域上的新 Nikodym 集构造

对于任意固定维数 $d \geq 3$，我们构造 $F_q^d$ 中的 Nikodym 集，其基数为 $q^d - (\frac{d-2}{\log 2} +1+o(1)) q^{d-1} \log q$（当 $q \to \infty$ 时），其中 $q$ 为奇素幂。该构造改进了朴素随机构造（后者给出的集合基数为 $q^d - (d-1+o(1)) q^{d-1} \log q$），且在 $F_q$ 特征无界且 $q$ 非完全平方的情形下为新构造。尽管最终证明完全由人类完成，但初始构想灵感来自 \texttt{AlphaEvolve} 和 \texttt{DeepThink} 工具。我们还提出了 $F_q^2$ 中 Nikodym 集的简单构造，适用于 $q$ 为完全平方数，这是已知基于单元的构造的一个特例，假设 $q$ 非素数 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的平方。