环上空间中 Nikodym 集的大小

Nikodym 集 $\mathcal{N}\subseteq(\mathbb{Z}/(N\mathbb{Z}))^n$ 是一个包含对每个 $x\in(\mathbb{Z}/(N\mathbb{Z}))^n$ 的 $L\setminus\{x\}$ 的集合，其中 $L$ 是通过 $x$ 的一条直线。我们证明若 $N$ 是无平方因子数，则每个 Nikodym 集的大小至少为 $c_nN^{n-o(1)}$，其中 $c_n$ 仅依赖于 $n$。该结果是有限域情形结果的推广。