关于线性集的最大线性域

设 $V$ 表示一个 $r$ 维 $\mathbb{F}_{q^n}$-向量空间。对于 $V$ 的一个 $m$ 维 $\mathbb{F}_q$-子空间 $U$，假设对每一非零向量 ${\bf v}\in U$ 有 $\dim_q \left(\langle {\bf v}\rangle_{\mathbb{F}_{q^n}} \cap U\right) \geq 2$。若 $n\leq q$，则我们证明存在整数 $1<d \mid n$ 使得由 $U$ 的非零向量生成的一维 $\mathbb{F}_{q^n}$-子空间集合与由 $\langle U\rangle_{\mathbb{F}_{q^d}}$ 的非零向量生成的一维 $\mathbb{F}_{q^n}$-子空间集合相同。若将 $U$ 视为 $\mathrm{AG}(r,q^n)$ 的一个点集，则意味着 $U$ 与 $\langle U \rangle_{\mathbb{F}_{q^d}}$ 确定相同的方向集。当 $n \mid m$ 时我们证明了一个更强的结论。就线性集而言，这意味着 $\mathrm{PG}(r-1,q^n)$ 的一个 $\mathbb{F}_q$-线性集具有最大线性域 $\mathbb{F}_q$ 仅当它有一个权为一的点。我们还给出了关于线性集大小的一些推论。