$\mathrm{PG}(1,q^n)$ 中已知最大散射线性集的几何刻画

$\Lambda=\mathrm{PG}(V, \mathbb{F}_{q^n}) \cong \mathrm{PG}(r-1,q^n)$ 的一个 $\mathbb{F}_q$-线性集 $L=L_U$ 是由 $V$ 的某个 $\mathbb{F}_q$-子空间 $U$ 的非零向量定义的点的集合。整数 $\dim_{\mathbb{F}_q} U$ 称为 $L$ 的秩。在 [G. Lunardon, O. Polverino: Translation ovoids of orthogonal polar spaces. Forum Math. 16 (2004)] 中证明了，对于 $\Lambda$ 中秩为 $u$ 且满足 $\langle L \rangle=\Lambda$ 的任意 $\mathbb{F}_q$-线性集 $L$，它要么是 $\Lambda$ 的典范子几何，要么存在一个与 $\Lambda$ 不相交的 $\mathrm{PG}(u-1,q^n) \supset \Lambda$ 中的 $(u-r-1)$ 维子空间 $\Gamma$，以及一个与 $\Gamma$ 不相交的典范子几何 $\Sigma \cong \mathrm{PG}(u-1,q)$，使得 $L$ 是 $\Sigma$ 从 $\Gamma$ 到 $\Lambda$ 的投影。子空间 $\Gamma$ 称为投影的顶点。在本文中，我们将展示一种针对 $\mathrm{PG}(r - 1, q^n)$ 中秩为 $u = n(r - 1)$ 的一类特殊线性集（称为规避线性集）重构顶点 $\Gamma$ 的方法。此外，我们将利用这一结果，通过其投影顶点的某些性质，对 2018 年及以后引入的射影直线 $\mathrm{PG}(1,q^n)$ 上的若干线性集族进行刻画，正如 [B. Csajb\'{o}k, C. Zanella: On scattered linear sets of pseudoregulus type in $\mathrm{PG}(1, q^t)$, Finite Fields Appl. 41 (2016)] 和 [C. Zanella, F. Zullo: Vertex properties of maximum scattered linear sets of $\mathrm{PG}(1, q^n)$. Discrete Math. 343(5) (2020)] 中所做的那样。