关于 $\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中最大散布线性集的分类

在 $\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中的每一个最大散布线性集都是从 $\mathrm{PG}(4,q^5)$ 中一个外部于 $\Sigma$ 折线系数到 $\Sigma$ 的外部平面 $\Gamma$ 上的投影。对偶 $(\Gamma,\Sigma)$ 将称为该线性集的投影配置。文献中已由 B. Csajb\'{o}k, C. Zanella 于 2016 年以及 C. Zanella, F. Zullo 于 2020 年对 $\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中唯一已知的两种最大散布线性集(即准正则类型和 LP 类型)的投影配置进行了特征化。设 $(\Gamma,\Sigma)$ 为 $\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中某个最大散布线性集的投影配置,设 $\sigma$ 为生成子 $\mathbb{G}=\mathrm{P}\Gamma\mathrm{L}(5,q^5)_\Sigma$ 的一个生成元,并设 $A=\Gamma\cap\Gamma^{\sigma^4}$, $B=\Gamma\cap\Gamma^{\sigma^3}$。若 $A$ 与 $B$ 同时非点,则该投影线性集为准正则类型。接下来,假设它们为点。点 $X$ 的秩定义为其在 $\mathbb{G}$ 作用下的轨道张成的向量子空间的维数。在本文中,通过考察投影配置的几何性质,我们证明:若 $A$ 与 $B$ 中至少有一个点的秩为 5,则相应的 maximum scattered linear set 必为 LP 类型。随后,若存在新的类型的最大散布线性集,则必满足 $\mathrm{rk} A=\mathrm{rk} B=4$。本文推导出此类线性集可能具有的两种多项式形式。通过计算机进行详尽分析显示,对于 $q\leq 25$,不存在新的最大散布线性集。