PG(1,q^5) 中线性集的权分布

本文研究 $\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中 $\mathbb{F}_q$-线性集的权分布。我们的主要定理证明：秩为 $5$ 且非散布的线性集 $S$，其权大于 1 的点的权分布如下：(i) 一个权为 $4$ 或 $5$ 的点；(ii) 一个权为 $3$ 的点，以及 $0$、$q$、$q^2$ 个权为 2 的点；(iii) $s$ 个权为 $2$ 的点，其中 $s\in [q-2\sqrt{q}+1,q+2\sqrt{q}+1]\cup\{2q,2q+1,2q+2,3q,3q+1,q^2+1\}$。特别地，$\mathrm{PG}(1,q^5)$ 中不存在 $2$-clubs。