最大散布线性集与MRD码

如Blokhuis和Lavrauw所证，散布的$\mathbb{F}_q$-线性集（位于$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$中，$rn$为偶数）的秩至多为$rn/2$。对于秩为$rn/2$的散布$\mathbb{F}_q$-线性集，已给出针对无穷多个$r$、$n$、$q$值（$rn$偶数）的存在性结果与显式构造。本文证明该界$rn/2$在剩余开放情形中也是紧的。最近Sheekey证明了$\mathrm{PG}(1,q^n)$中最大秩$n$的散布$\mathbb{F}_q$-线性集可导出维数为$2n$、最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$-线性MRD码。我们推广此结果，并表明$\mathrm{PG}(r-1,q^n)$中最大秩$rn/2$的散布$\mathbb{F}_q$-线性集可导出维数为$rn$、最小距离$n-1$的$\mathbb{F}_q$-线性MRD码。