偶特征下 $\mathbb{F}_{q^6}[X]$ 中的分散三项式

近年来，文献中研究了若干分散多项式族。然而，其中大多数仅存在于奇特征中。在[B. Csajb\'ok, G. Marino and F. Zullo: New maximum scattered linear sets of the projective line, Finite Fields Appl. 54 (2018), 133-150; G. Marino, M. Montanucci and F. Zullo: MRD-codes arising from the trinomial $x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}\in\mathbb{F}_{q^6}[x]$, Linear Algebra Appl. 591 (2020), 99-114]中，作者证明了在 q 为奇数且 $c^2+c=1$ 的假设下，$\mathbb{F}_{q^6}[X]$ 中的三项式 $f_c(X)=X^{q}+X^{q^{3}}+cX^{q^{5}}$ 是分散的。他们也明确观察到当 q 为偶数时此结论不成立。本文给出关于 c 的一组不同条件，使得该三项式在 q 为偶数时分散。利用正特征代数几何工具，我们证明当 q 为偶数且充分大时，存在大约 $q^3$ 个 $c \in \mathbb{F}_{q^6}$ 使得 $f_{c}(X)$ 分散。此外，我们证明了相应的MRD码与 $\mathrm{PG}(1,q^6)$ 上的 $\mathbb{F}_q$-线性集不等价于先前已知的那些。