有限域的自同态环上的射影线中的线性集

设 $\mathrm{PG}(1,E)$ 为自同态环 $E=End_q({\mathbb F}_{q^t})$ 上的射影线，该环是 $\mathbb F_q$-向量空间 ${\mathbb F}_{q^t}$ 的自同态环。众所周知，存在双射 $\Psi:\mathrm{PG}(1,E)\rightarrow{\cal G}_{2t,t,q}$ 对应于 $\mathrm{PG}(2t-1,q)$ 中 $(t-1)$-子空间的格拉斯曼流形。本文中，对于任意 $\mathrm{PG}(1,q^t)$ 中由 $\mathrm{PG}(2t-1,q)$ 的 $(t-1)$ 维子空间 $T^\Psi$ 确定的秩为 $t$ 的 $\mathbb F_q$-线性集 $L$，研究其子集 $L_T\subset \mathrm{PG}(1,E)$。线性集的某些性质用环 $E$ 上的射影线表示。特别地，关注点集中于 $L_T$ 与集合 $L'_T$ 之间的关系，后者通过 $\Psi$ 对应于一组两两斜交的 $(t-1)$ 维子空间，且 $T\in L'_T$，其中每个子空间确定 $L$。这尤其导出了对伪正则型线性集的刻画。证明了对与 $T\in\mathrm{PG}(1,E)$ 相关的散射线性集 $L$，其为伪正则型当且仅当存在 $\mathrm{PG}(1,E)$ 的射影变换 $\varphi$ 使得 $L_T^\varphi=L'_T$。