利用子几何构造射影空间中的饱和集

$\text{PG}(N,q)$ 的 $\varrho$-饱和集是一个点集 $\mathcal{S}$，使得 $\text{PG}(N,q)$ 的任意点都位于由 $\mathcal{S}$ 中点张成的维数至多为 $\varrho$ 的子空间中。通常已知 $\text{PG}(N,q)$ 的 $\varrho$-饱和集大小至少为 $c\cdot\varrho\,q^\frac{N-\varrho}{\varrho+1}$，其中 $c>\frac{1}{3}$ 为常数。我们的主要结果是发现了当 $q=(q')^{\varrho+1}$（$q'$ 为任意素数的幂）时，大小为约 $\frac{(\varrho+1)(\varrho+2)}{2}q^\frac{N-\varrho}{\varrho+1}$ 的 $\varrho$-饱和集。若 $\varrho<\frac{2N-1}{3}$，此类集合的存在性改进了关于 $\varrho$-饱和集最小可能大小的大部分已知上界。由于饱和集与线性覆盖码一一对应，该结果改进了此类码的长度与覆盖密度的现有上界。为证明该构造是 $\varrho$-饱和集，我们观察到具有一个公共超平面的 $\text{PG}(N,q)$ 的 $q'$-子几何的仿射部分，表现为 $\text{AG}\big(\varrho+1,(q')^N\big)$ 的某些直线。更确切地说，这些仿射直线是嵌入于 $\text{PG}\big(\varrho+1,(q')^N\big)$ 中的 $q'$-子几何 $\text{PG}(\varrho,q')$ 的线性表示的直线。