在某一概率猜想下 $\mathrm{PG}(N,q)$ ($N\ge3$) 中完全覆盖集最小尺寸的上界

在阶为 $q$ 的伽罗瓦域上的射影空间 $\mathrm{PG}(N,q)$ ($N\ge3$) 中，考虑了一种逐步迭代构造完全覆盖集的方法，每一步添加一个新点。证明了未被覆盖的点在空间中均匀分布。对每一步新覆盖点数量的估计提出了一个自然的猜想。对于迭代过程的一部分，这一估计得到了严格证明。在上述猜想下，得到了 $\mathrm{PG}(N,q)$ 中完全覆盖集最小尺寸 $t_{2}(N,q)$ 的新上界，特别是 \begin{align*} t_{2}(N,q)<\frac{\sqrt{q^{N+1}}}{q-1}\left(\sqrt{(N+1)\ln q}+1\right)+2\thicksim q^\frac{N-1}{2}\sqrt{(N+1)\ln q},\quad N\ge3. \end{align*} 指出了与生日问题的一个联系。通过与在广泛的 $q$ 范围内由计算机得到的完全覆盖集尺寸的比较，说明了新上界的有效性。