关于PG(2,q)中完备弧的大小

对于射影平面PG(2,q)中完备弧的最小大小t_{2}(2,q)，在853 <= q <= 4561以及q∈T1∪T2的范围内获得了新的上界，其中T1={173,181,193,229,243,257,271,277,293,343,373,409,443,449,457, 461,463,467,479,487,491,499,529,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631, 641,661,673,677,683,691, 709}, T2={4597,4703,4723,4733,4789,4799,4813,4831,5003,5347,5641,5843,6011,8192}。从这些新界可知，对于q <= 2593以及q=2693,2753，关系式t_{2}(2,q) < 4.5\sqrt{q}成立。同样，对于q <= 4561，我们有t_{2}(2,q) < 4.75\sqrt{q}。结果表明，对于23 <= q <= 4561以及q∈T2∪{2^{14},2^{15},2^{18}}，不等式t_{2}(2,q) < \sqrt{q}ln^{0.75}q成立。此外，所得结果使我们推测该估计对所有q >= 23成立。通过使用随机贪心算法进行计算机搜索，发现新的小完备弧，从而得到了新的上界。同时提出了新的完备弧构造方法。这些构造方法在PG(2,q)中形成k-弧族，包含区域k_{min} <= k <= k_{max}内所有大小的弧，其中k_{min}的量级为q/3或q/4，而k_{max}的量级为q/2。对于q <= 1367以及2003 <= q <= 2063，证明了通过新构造方法得到的弧的完备性。有理由推测对于所有q > 1367这些弧都是完备的。给出了169 <= q <= 349以及q=1013,2003时PG(2,q)中完备弧的新大小。