有限射影直线上的散布线性集与平移平面

Lunardon和Polverino从$\mathrm{PG}(1,q^t)$中伪正则型散布线性集构造了一个平移平面。本文描述并研究了一个类似的平移平面$\mathcal A_f$的构造，该平面由$\mathbb F_{q^t}[x]$中任意散布线性化多项式$f(x)$得到。定义了一类产生此类平面的拟域。用$U_f$表示与$f(x)$关联的$\mathbb F_{q^t}^2$的$\mathbb F_q$-子空间。若$f(x)$和$f'(x)$均为散布的，则$\mathcal A_f$与$\mathcal A_{f'}$同构当且仅当$U_f$和$U_{f'}$在$\Gamma\mathrm L(2,q^t)$作用下属于同一轨道。这产生了与不等价散布线性化多项式数量一样多的不同平移平面。特别地，对于$\mathrm{PG}(1,q^t)$中任何极大秩散布线性集$L$，存在$c_\Gamma(L)$个两两不同构的平移平面，其中$c_\Gamma(L)$表示由Csajb\'ok、Marino和Polverino所定义的$L$的$\Gamma\mathrm L$-类。Jha和Johnson的一个结果可用来描述由Lunardon和Polverino定义的、非伪正则型线性集所获得的平面的自同构群。