散列线性化多项式的标准形及其相关平移平面的性质

本文给出关于子空间 $U_f=\{(x,f(x))\colon x\in\mathbb F_{q^n}[x]\}$（其中 $f(x)$ 为 $\mathbb F_{q^n}[x]$ 中的散列线性化多项式）在 $\mathrm{GL}(2,q^n)$ 中稳定子 $G_f$ 的结果。每个 $G_f$ 均包含 $q-1$ 个映射 $(x,y)\mapsto(ax,ay)$，$a\in\mathbb F_{q}^*$。借助 Beard (1972) 与 Willett (1973) 的结果，$G_f$ 中的矩阵可同时对角化。这带来若干推论：$(i)$ 满足 $|G_f|>q-1$ 的多项式具有类型 $\sum_{j=0}^{n/t-1}a_jx^{q^{s+jt}}$ 的标准形，其中某些 $s$ 与 $t$ 满足 $(s,t)=1$、$t>1$ 为 $n$ 的因子；$(ii)$ 该标准形本质唯一；$(iii)$ 对 $n>2$ 且 $q>3$，与 $f(x)$ 关联的平移平面 $\cal A_f$ 存在非平凡仿射同调当且仅当 $|G_f|>q-1$，且此时过原点的轴所成者构成两个基数均为 $(q^t-1)/(q-1)$ 的群，它们交换轴与余轴；$(iv)$ 对任何形如 $\cal A_f$ 的平面，若 $f(x)$ 为非伪正则型散列多项式，则均非广义 André 平面。