闭包空间中正则闭子集的格

对于满足 $f(\emptyset)=\emptyset$ 的闭包空间 $(P,f)$，$P$ 的开子集的闭包（称为正则闭子集）构成一个正交格 $Reg(P,f)$，它扩展了所有既开又闭子集的偏序集 $Clop(P,f)$。如果 $(P,f)$ 是有限凸几何，则 $Reg(P,f)$ 是伪补的。任何中心超平面排列的区域偏序集的 Dedekind-MacNeille 完备化均可通过此方式获得，因此它是伪补的。对于我们称为半格型闭包空间的特殊类型凸几何，格 $Reg(P,f)$ 具有特别有趣的结构。对于此类有限闭包空间：(1) $Reg(P,f)$ 满足一组无限多个越来越强的准恒等式，这些准恒等式弱于交半分配性和并半分配性，尽管如此它仍可能不满足半分配性。(2) 如果 $Reg(P,f)$ 是半分配的，则它是自由格的一个有界同态像。(3) $Clop(P,f)$ 是格当且仅当每个正则闭集都是既开又闭的。图 $G$ 上的扩展置换多面体 $R(G)$ 和并半格 $S$ 上的扩展置换多面体 $Reg(S)$ 均定义为合适闭包空间的正则闭集格。虽然在半格背景下，正则闭集格总是既开又闭集偏序集的 Dedekind-MacNeille 完备化，但这在图背景下并不总是成立，尽管对于有限块图和圈总是成立。此外，$R(G)$ 和 $Reg(S)$ 都是自由格的有界同态像。