关于线性集的等价性

设 $L$ 为 $\Sigma^*=\mathrm{PG}(t-1,q^t)$（$t=5$ 或 $t>6$）中一条直线 $\ell$ 上的伪正则型线性集。我们给出 $q$ 阶典范子几何 $\Sigma_1,\, \Sigma_2 \subset \Sigma^*$ 的例子，使得存在 $(t-3)$-空间 $\Gamma \subset \Sigma^*\setminus (\Sigma_1 \cup \Sigma_2 \cup \ell)$ 具有如下性质：对 $i=1,2$，$L$ 是 $\Sigma_i$ 从中心 $\Gamma$ 的投影，且不存在 $\Sigma^*$ 的共线变换 $\phi$ 满足 $\Gamma^{\phi}=\Gamma$ 和 $\Sigma_1^{\phi}=\Sigma_2$。Lavrauw 与 Van de Voorde 的文章（Des. Codes Cryptogr. 56:89-104, 2010）中定理 3 给出的条件 (ii) 陈述了投影构型（每个由中心和子几何组成）之间存在共线变换，这些投影构型通过投影产生两个线性集。我们的例子表明，该条件对于如其所言的两个线性集的等价性并非必要。我们刻画了上述条件实际为必要的那些线性集。