小线性等价 G-集与 Beaulieu 的一个构造

两个 $G$-集（$G$ 为有限群）称为在交换环 $k$ 上线性等价，如果置换表示 $k[X]$ 与 $k[Y]$ 作为群代数 $kG$ 上的模同构。线性等价但不同构的 $G$-集 对在数论与几何中有应用。我们刻画了对于任意域均存在这种对的群 $G$，并给出这些对的一个简单构造。若 $k$ 为 $\Q$，这些恰为非循环群。对于任意非循环群，我们证明存在在 $\Q$ 上非同构且线性等价的 $G$-集，其基数 \leq 3(#G)/2。此外，我们研究 P. Beaulieu 的一个构造，它允许我们由任意群 $G$ 的任意 $G$-集构造出传递线性等价的 $S_n$-集对。我们证明该构造在所有域上均适用，并用它构造出：对每一有限素数集 $\mc P$，存在 $S_n$-集 在域 $k$ 上线性等价当且仅当 $k$ 的特征属于 $\mc P$。