关于射影簇的秩3二次方程

设 $X \subset \P^r$ 是由射影簇 $X$ 上极为丰富的线丛 $L$ 定义的线性正规簇。最近在 \cite{HLMP} 中已证明，在许多情形下 $(X,L)$ 满足性质 $\textsf{QR} (3)$，即 $X$ 的齐次理想 $I(X,L)$ 由秩为 $3$ 的二次多项式生成。$\P \left( I(X,L)_2 \right)$ 中 $X$ 的秩 $3$ 二次方程的轨迹 $\Phi_3 (X,L)$ 是一个射影代数集，且 $(X,L)$ 的性质 $\textsf{QR} (3)$ 等价于 $\Phi_3 (X)$ 在 $\P \left( I(X)_2 \right)$ 中非退化。本文研究 $\Phi_3 (X,L)$ 的几何结构，如它的最小不可约分解。令 \begin{equation*} \Sigma (X,L) = \{ (A,B) ~|~ A,B \in {\rm Pic}(X),~L = A^2 \otimes B,~h^0 (X,A) \geq 2,~h^0 (X,B) \geq 1 \}. \end{equation*} 我们首先对 $\Sigma (X,L)$ 中每个 $(A,B)$ 构造一个射影子簇 $W(A,B) \subset \Phi_3 (X,L)$。然后我们证明当 $X$ 局部阶乘时等式成立 \begin{equation*} \Phi_3 (X,L) ~=~ \bigcup_{(A,B) \in \Sigma (X,L)} W(A,B) \end{equation*} 从而当 ${\rm Pic} (X)$ 有限生成（因此 $\Sigma(X,L)$ 为有限集）时，这是 $\Phi_3 (X,L)$ 的一个不可约分解。我们还找到了上述不可约分解为最小的条件。例如，若 ${\rm Pic}(X)$ 由一个极为丰富的线丛生成，则它是 $\Phi_3 (X,L)$ 的最小不可约分解。