几乎极小次数射影簇的算术性质

我们研究几乎极小次数射影簇的算术性质，即次数恰比余维数大 2 的非退化不可约射影簇。我们特别证明，这样的簇 $X \subset {\mathbb P}^r$ 要么是算术正规的（且算术 Gorenstein 的），要么是从适当的点 $p \in {\mathbb P}^{r + 1} \setminus \tilde {X}$ 对极小次数簇 $\tilde {X} \subset {\mathbb P}^{r + 1}$ 的投影。我们聚焦于后一种情形，并通过投影 $\tilde {X} \to X$ 研究 $X$。若 $X$ 不是算术 Cohen-Macaulay 的，则投影簇 $\tilde {X}$ 的齐次坐标环 $B$ 是 $X$ 的齐次坐标环 $A$ 的典则模 $K(A)$ 的自同态环。若 $X$ 非正规且为极大 Del Pezzo，即算术 Cohen-Macaulay 但非算术正规，$B$ 恰为 $A$ 的分次整闭包。结果表明，投影 $\tilde {X} \to X$ 的几何在任何情形下都由 $X$ 的算术深度所支配。我们特别研究投影簇 $\tilde {X} \subset {\mathbb P}^{r + 1}$ 为（在一个）有理正规滚动面之上的锥的情形。此时 $X$ 包含于极小次数簇 $Y \subset {\mathbb P}^r$ 中使得 $\codim_Y(X) = 1$。我们利用此来逼近 $X$ 的 Betti 数。此外，我们给出若干例子以阐明我们的结果，并指出了与 Fujita 的 $\Delta$-亏格 1 极化簇分类的某些联系。