关于算术亏格与欧拉示性数的双有理不变性

本注记旨在用初等方法给出一大类射影簇$Y \subseteq \mathbb{P}^d_k$的实例,其定义于域$k$上,且具有性质:$Y$不同构于射影空间$\mathbb{P}^N_k$中的超曲面$H\subseteq \mathbb{P}^N_k$,其中$N:=dim(Y)+1$。我们将此构造应用于$Y$的算术亏格$p_a(Y)$的研究,以及判定$p_a(Y)$在一般情形下是否为$Y$的双有理不变量的问题。我们给出任意维数$dim(Y)=dim(Y')\geq 4$的射影簇对$(Y, Y')$的无穷多例,其中$Y$双有理于$Y'$,但$p_a(Y)\neq p_a(Y')$。由Hodge理论可知,在特征零的代数闭域上,算术亏格对光滑射影簇是双有理不变量。在每个维数$d\geq 4$下,我们给出正维数的双有理但算术亏格不同的射影簇对$(Y,Y')$族。我们证明了关于欧拉示性数的类似结果。