与 affine Weyl 群 $W(E_8^{(1)})$ 和 $W(E_7^{(1)})$ 相关的二维和三维可积系统的几何结构

我们发现了一种用于构建从 $\mathbb P^2$, $\mathbb P^1\times \mathbb P^1$，以及 $\mathbb P^3$ 通过在九个或八个点上做 blow-up 所得到的二维或三维 variety 上的双射 involution 的通用框架。每种 involution 都基于一个具有一维线性系统的 divisor class，其一般元素为 genus 为零。经典的 Manin involution 表示最简单的情况。在此处识别的新型、更复杂的案例包括：沿着双曲抛物线和沿着 nodal 三次曲线的 $\mathbb P^2$ 双射 involution，以及沿着二次锥和沿着 Cayley nodal 三次曲面 的 $\mathbb P^3$ 双射 involution。我们证明了关于几何双射 involution 在各自 Picard 群上诱导作用的通用公式，并给出关于各自 affine Weyl 群中平移元素的分解为两个几何双射 involution 乘积的一般结果。