与 Weyl 群 $W(E_8^{(1)})$ 相关的自治离散 Painlev\'e 方程的几何结构

离散 Painlev\'e 方程是与广义 Halphen 表面相关联的二维可逆映射族。后者可以看作是在九个点上展开的 $\mathbb P^2$ 或是在八个点上展开的 $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$。当这些展开点处于特殊位置时（分别支持 $\mathbb P^2$ 上三次曲线的单发射族或 $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 上双二次曲线的单发射族），这些映射变为自治形式，广义 Halphen 表面则变为有理椭圆面。在一般情况下，离散 Painlev\'e 方程的对称性是 Weyl 群 $W(E_8^{(1)})$。存在一组交换映射，对应于由 $E_8^{(1)}$ 格子的根所关联的 $W(E_8^{(1)})$ 的平移元素。在本文中，我们给出这些交换映射的几何构造。为此，我们基于上述曲线单发射族的一些新型可逆映射。