离散 Painlevé 方程与 $\mathbb P^3$ 中的二次曲面束

离散 Painlevé 方程构成了一类著名的可积非自治二阶差分方程。Sakai 提出的分类方案将离散 Painlevé 方程解释为广义 Halphen 曲面(通过在 $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 上爆破八个点得到的曲面)之间的双有理映射。我们提出了一种对离散 Painlevé 方程的新颖几何解释,其中广义 Halphen 曲面族被 $\mathbb P^3$ 中的二次曲面束所替代。离散 Painlevé 方程被视为 $\mathbb P^3$ 的保持该曲面束的自洽双有理变换,并根据曲面束参数的 Möbius 变换将曲面束中的每个二次曲面映射为另一个不同的二次曲面。因此,我们的方案基于 $\mathbb P^3$ 中二次曲面束的分类。