从 $\mathbb P^3$ 中带分支生成器的准兆米 Painlev\'e 方程组

本文扩展了我们前一工作中所提出的离散 Painlev\'e 方程的新方法。Sakai 提出的分类方案将离散 Painlev\'e 方程解释为在由 $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ 通过在八个点上 blows up 获得的广义 Halphen 表面之间的双射同构。因此，Sakai 的分类基于广义 Halphen 表面的分类。本文中，用 $\mathbb P^3$ 中一组准锥面取代广义 Halphen 表面的家族。离散 Painlev\'e 方程被视为 $\mathbb P^3$ 的一种自治变换，其保持该组准锥面并将准锥面的每一组映射到另一个组。因此，本文的方法基于 $\mathbb P^3$ 中准锥面组的分类。与我们前一项工作相比，本文考虑的是更具技术挑战性的情形，即准锥面的特征多项式 $\Delta(\lambda)$ 不是完全平方。结果是，通过 3D Painlev\'e 图遍历该组的方式对应于在 $\sqrt{\Delta(\lambda)}$ 的黎曼表面的普适覆盖上的平移，而不是像 [2] 中那样对应于该组参数 $\lambda$ 的 Möbius 变换。