辛群胚与簇代数上的双有理 Weyl 群作用

A. Bondal 的三角双线性型辛群胚在 $n \times n$ 幺幂上三角矩阵空间 $\mathcal{A}_n$ 上诱导了一个 Poisson 结构。该结构由经典 $\mathfrak{so}(n)$ 反射方程所支配。L. Chekhov 与 M. Shapiro 通过 $\mathcal{A}_n$-箭图描述了该群胚上的对数典范坐标。我们在此辛群胚上引入了双有理 Weyl 群作用，该作用由与箭图特定环路相关的簇变换生成。我们证明了 Weyl 群不变量的 Poisson 子代数是 $\mathcal{A}_n$ 矩阵元素所生成代数的一个有限中心扩张。J. Song 将 $\mathrm{AI}_n$ 型 $\imath$-量子群嵌入到 $\Sigma_n$-箭图（通过向 $\mathcal{A}_{n+1}$-箭图添加冻结顶点获得）的量子簇代数中。利用我们的 Weyl 群作用，我们确定了该嵌入在经典情形下的精确像，并证明其 Poisson 同构于 Weyl 群不变量的商代数。V. Fock 与 L. Chekhov 定义了从 Teichm\"uller 空间 $\mathcal{T}_{g,s}$ 到 $\mathcal{A}_n$ 的 Poisson 映射 $\phi_n$。为描述 $\operatorname{Im}(\phi_n)$ 的簇结构，我们基于所有 $A \in \operatorname{Im}(\phi_n)$ 均满足的秩条件 $\operatorname{rank}(A+A^T) \le 4$，对 $\mathcal{A}_n$ 施加了簇 Poisson 约化。尽管该条件的解集具有多个不可约分支，但 Weyl 群在其上传递作用，使得相应的约化彼此共轭。因此，只需确定单一分支上的约化即可。最后，我们证明了 Weyl 群的最长元对应于 $\mathcal{A}_{2k}$-箭图上的簇 DT 变换，为簇代数提供了典范基，而对于奇数 $n$ 则不存在红化序列。