A 型 Weyl 群胚、杨图与 Borel 子代数

设 $\mathtt{k}$ 为特征零的代数闭域。令 ${\stackrel{{\rm o}}{{\mathfrak{g}}}}$ 为李超代数 ${\mathfrak{sl}}(n|m)$，并令 $\mathfrak{W}$ 为 Sergeev 和 Veselov 利用 ${\stackrel{{\rm o}}{{\mathfrak{g}}}}$ 的根系引入的 Weyl 群胚。${\mathfrak{W}}$ 的一个重要子群胚 $\mathfrak T_{iso}$ 以所有迷向根构成的集合 $\Delta_{iso}$ 为基。受变形量子 Calogero-Moser 问题的启发，同一批作者考虑了 $\mathfrak{W}$ 在 $\mathtt{k}^{n|m}$ 上依赖于参数 $\kappa$ 的一个作用。在 $m>n$、$m,n$ 互质且 $\kappa=-n/m$ 的情形下，我们研究 $\mathfrak T_{iso}$ 的一个具有某些特殊性质的特定无穷轨道。该轨道若视为一个有向图，则同构于 $\mathfrak T_{iso}$ 在 ${\stackrel{{\rm o}}{{\mathfrak{g}}}}$ 的仿射化 ${\widehat{L}(\stackrel{{\rm _o}}{{\mathfrak{g}}})}$ 的某些 Borel 子代数上的作用的一个轨道图。这一图同构的深层原因在于，两者都具有可以用在周长为 $n$、长度为 $m$ 的旋转圆柱面上绘制的 Young 图和表来描述的组态。允许圆柱旋转会产生一个无穷轨道。这引出了第三个图，它与前两个图同构。