Young 图、Borel 子代数与 Cayley 图

设 $\mathtt{k}$ 为特征零的代数闭域，$n, m$ 为互质的正整数。设 ${\stackrel{{\rm o}}{\mathfrak{g}}}$ 为李超代数 ${\mathfrak{sl}}(n|m)$，并设 $\mathfrak T_{iso}$ 为 Sergeev 和 Veselov \cite{SV2} 引入的广群，其基为 ${\stackrel{{\rm o}}{\mathfrak{g}}}$ 的奇根集合。我们证明了 $\mathfrak T_{iso}$ 的三个作用的 Cayley 图是同构的，这些作用源自截然不同的方式。考虑包含在 $n$ 行 $m$ 列矩形中的 Young 图集合 $X$。通过从某些图中添加或删除行和列，并记录添加或删除的总框数，我们在 $X\times {\mathbb Z}$ 上获得了一个等价关系，使得 $\mathfrak T_{iso}$ 作用于等价类集合 $[X\times {\mathbb Z}]$。我们将 $[X\times {\mathbb Z}]$ 上的作用与 ${\stackrel{{\rm o}}{\mathfrak{g}}}$ 仿射化 ${\widehat{L}(\stackrel{{\rm _o}}{{\mathfrak{g}}})}$ 的 Borel 子代数上的作用进行比较，这些 Borel 子代数通过奇反射相关联。第三个作用来自 Sergeev 和 Veselov 定义的 $\mathfrak T_{iso}$ 在 $\mathtt{k}^{n|m}$ 上的作用，该作用受变形量子 Calogero-Moser 问题 \cite{SV1} 的启发。这一作用将在 \cite{M24} 中予以考虑。