Calogero 算子与 Jack 多项式的超类比

构造了依赖于复参数 $k$ 的 Calogero 算子的超类比 ${\mathcal S}{\mathcal L}$;它与李超代数 ${\mathfrak{gl}}(n|m)$ 的根系相关。当 $m=0$ 时我们得到通常的 Calogero 算子;当 $m=1$ 时,经不定元与参数 $k$ 的变换,我们得到 Veselov、Chalykh 和 Feigin [2,3] 所构造的算子。对于 $k=1, \frac12$,算子 ${\mathcal S}{\mathcal L}$ 分别是对应于对 $(GL(V)\times GL(V), GL(V))$ 与 $(GL(V), OSp(V))$ 的对称超空间的二阶 Laplace 算子的径向部分。我们将证明,对一般的 $m$ 与 $n$,由 Kerov、Okunkov 和 Olshanskii [5] 构造的 Jack 多项式的超类比是 ${\mathcal S}{\mathcal L}$ 的本征函数;当 $k=1, \frac12$ 时它们与前述对称超空间对应的球函数一致。我们还研究了这些超空间上由 Berezin 积分诱导的内积。