秩 2 商簇 h+h*/W 的 Poisson 迹群

设 $V$ 为 $\mathbb{C}$ 上的辛空间，$dim_\mathbb{C} V=2l$，$G$ 为 $Sp(V)$ 的有限子群。不变正则函数 $\mathbb{C}[V]^G$ 继承 Poisson 代数结构，从而商簇 ${\cal X}=V/G$ 成为仿射代数 Poisson 簇。现可考虑由不变代数 $A_l(\mathbb{C})^G$ 给出的 $\cal X$ 的非交换形变，其中 $A_l(\mathbb{C})$ 表示秩为 $l$ 的 Weyl 代数。此情形有两类自然例子：第一类涉及 $SL(2,\mathbb{C})$ 的有限子群与作用于 $(\mathbb{C}^2)^n$ 的适当对称群的半直积；第二类由 Weyl 群 $W$ 作用于反射表示的双重空间 ${\mathfrak{h}}\oplus {\mathfrak{h}}^*$ 构造。Berest、Etingof 与 Ginzburg 的一个良好结果确立了 $HP_0({\cal X})= \mathbb{C}[\cal X]/\{\mathbb{C}[\cal X], \mathbb{C}[\cal X]\}$（即 $\cal X$ 的 Poisson 迹群）维数的有限性。本文旨在对某些情形计算此维数，并特别将其与上述非交换形变的通常迹群维数进行比较。此处建立的主要定理为：{\bf 定理.} 在上述记号下，我们有如下等式：$$dim_\mathbb{C} HP_0({{\mathfrak{h}}\oplus {\mathfrak{h}}^*}/W)=dim_\mathbb{C} HH_0(A_l(\mathbb{C})^W).$$ 此外，该公共维数在 $A_2$ 型时为 1，在 $B_2$ 型时为 2，在 $G_2$ 型时为 3。我们也给出两维数之差无界的例子。