小次数射影流形的几何性质

本文旨在从双有理的观点研究小次数的非退化光滑射影簇的几何性质。首先，利用双点除子的正性性质和伴随映射，我们对 $\mathbb P^r$ 中次数 $d \leq r+2$ 的光滑射影簇进行分类，并因此表明此类簇除少数情况外是单连通且有理连通的。这是对 P. Ionescu 工作的推广。我们还展示了 $\mathbb P^r$ 中次数 $d \leq r$ 的光滑射影簇的 Cox 环的有限生成性，并给出了 $d=r+1, r+2$ 时的反例。另一方面，我们证明 $\mathbb P^r$ 中维数 $n$ 且次数 $d \leq n(r-n)+2$ 的非单有理光滑射影簇是 Calabi-Yau，并给出例子表明该界也是紧的。