论被 $\delta$ 次曲线 $n$-覆盖的射影簇

如最近在 [PT] 中所证，对于 $X^{r+1}\subset \mathbb P^N$ 这样的簇，若通过 $n\geq 2$ 个一般点存在一条次数为 $\delta\geq n-1$ 的不可约曲线 $C$，则有 $N\leq \pi(r,n,\delta+r(n-1)+2)$，其中 $\pi(r,n,d)$ 是 $\mathbb P^{n+r-1}$ 中次数为 $d$ 的不可约非退化簇 $Y^r$ 的几何亏格的 Castelnuovo-Harris 界函数。标题中所述并达到先前嵌入维数上界的许多簇例子是由 Castelnuovo 簇构造的，因此在 [PT] 中被称为 {\it Castelnuovo 型}；该文还证明了上述所有极小簇均属此类，除非可能当 $n>2$、$r>1$ 且 $\delta=2n-3$ 时。本文的主要结果之一是对被三次扭曲曲线 3-覆盖且非 Castelnuovo 型的极小簇 $X^{r+1}\subset \mathbb P^{2r+3}$ 进行分类。正如 Mukai 所指出的，有趣的例子由所谓的 {\it 秩为 3 的复 Jordan 代数上的三次扭曲曲线} 提供。通过切向投影将被三次扭曲曲线 3-覆盖的极小簇与 $\mathbb P^r$ 中的二次-二次 Cremona 变换相关联，我们能够在 $r\leq 4$ 或在光滑性假设下对所有这些对象进行分类。在后一种情况下，我们得出它们要么是光滑有理正规卷积（因此属于 Castelnuovo 型），要么是 $\p^1\times Q^r$ 的 Segre 嵌入，要么是四个 Lagrange Grassmannian 之一。最后，我们讨论了一些指向这些看似无关的对象等价性的开放问题：被三次扭曲曲线 3-覆盖的极小簇、$\mathbb P^r$ 的二次-二次 Cremona 变换，以及维数为 $r+1$ 且秩为 3 的复 Jordan 代数。