关于 $\mathbf P^4$ 中曲线亏格的一个注记

设 $C$ 为复数域上射影空间 $\mathbf P^4$ 中一条不可约、既约、非退化曲线，其算术亏格为 $g$，次数为 $d$。假设 $C$ 满足以下 {\it 类型 $(s,t)$ 的旗条件}：{$C$ 不位于任何次数 $<s$ 的曲面上，也不位于任何次数 $<t$ 的超曲面上}。在 $s\leq t^2-t$ 且 $d\gg t$ 的假设下，本文改进了先前结果，给出了 $g$ 的 Castelnuovo-Halphen 型界。在 $t^2-2t+3\leq s\leq t^2-t$ 且 $d\gg t$ 的范围内，我们能够给出关于极值曲线的一些信息。它们是算术 Cohen-Macaulay 曲线，位于形如 $S\subset F$ 的旗上，其中 $S$ 是次数为 $s$ 的曲面，$F$ 是次数为 $t$ 的超曲面，$S$ 是唯一的，且其一般超平面截面是不包含在任何次数 $<t$ 的曲面中的空间极值曲线。在 $d\equiv 0$（模 $s$）的情形下，它们恰好是如上所述的曲面 $S$ 与一个超曲面的完全交。作为先前结果的推论，我们得到了满足旗条件的曲线的特殊性指数的一个界。