驻留于 del Pezzo 表面上的空间曲线的扭曲性 obstruction

我们研究空间曲线 $C \subset \mathbb P^4$ 的扭曲，假设其包含于平滑完整交叉 $S_{2,2} \subset \mathbb P^4$ 中，即次数为 $4$ 的平滑 del Pezzo 表面。我们以曲线的次数 $d$ 与 genera $g$ 为参数，给出 $C$ 是否受阻的充分条件。我们证明：若 $d>8$、$g\ge 2d-12$，且 $h^1(C,\mathcal I_C(2))=1$，则 $C$ 受阻且稳定退化，即 $C$ 在 $\mathbb P^4$ 中拥有一阶无限小扭曲，但这些扭曲不包含于 $\mathbb P^4$ 中 $S_{2,2}$ 的扭曲中，亦无法提升为全局扭曲。（由此可得：$C$ 在 $\mathbb P^4$ 的所有全局扭曲均包含于 $\mathbb P^4$ 中 $S_{2,2}$ 的扭曲中。）作为应用，我们构造无数个 $\operatorname{Hilb}^{sc} \mathbb P^4$（平滑联通曲线在 $\mathbb P^4$ 的希尔伯特簇）的不可约组成部分，其中希尔伯特簇普遍不可约。当 $d=14$ 且 $g=16$ 时，我们得到一个维数为 $55$ 的不可约组成部分，其正规图维为 $57$，可类比米尔福德在 $\mathbb P^3$ 中发现的不可约希尔伯特簇组成部分（其一般成员包含于次数为 $3$ 的平滑立方面 $S_3 \subset \mathbb P^3$ 中）。