小直径空间曲线的 Hilbert 概型
摘要
本文研究次数为 d、算术亏格为 g 的空间曲线 C,其齐次理想为 I,Rao 模为 M = H_{*}^1(I^~),主要结果涉及满足 Ext^2(M,M)_0=0 的曲线(例如直径 diam M < 3,即 M 至多在两个连续次数上非零)。对此类曲线 C,我们给出了无阻碍性的充要条件,并在充分条件成立时计算了 Hilbert 概型 H(d,g) 在 (C) 处的维数。在直径为 1 的情形,充要条件重合,且 C 的无阻碍性等价于 I 的自由分次极小消解为某些分次 Betti 数的乘积为零。我们给出了一类有阻碍曲线 C,并部分计算了 H(d,g) 在 (C) 处奇点的方程。此外,通过取适当的形变,我们展示了如何消去一般曲线理想的极小消解中某些重复的直接自由因子(“幽灵项”)。对于直径至多为 2 的 Buchsbaum 曲线,我们以这种方式进一步简化了极小消解,从而能够判断 H(d,g) 的奇异点何时位于若干个不可约分支的交中,或位于 H(d,g) 的唯一不可约分支内。由此可得,一般曲线的上述分次 Betti 数乘积为零,且在直径为 1 的情形下 H(d,g) 的任一不可约分支均是既约的(一般光滑)。
引用
@article{arxiv.math/0602045,
title = {The Hilbert Scheme of Space Curves of Small Diameter},
author = {Jan O. Kleppe},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0602045},
year = {2010}
}
备注
Prop. 32(b) is now changed to what is stated in the published version. In Prop. 32(a) we replace "minimal free resolution" by "free resolution which is minimal except possibly in degree t+3", a change that unfortunately is not done in the published version! A sentence in its proof is added. There are changes just before Prop. 24 to credit Fl{\o}ystad, and several changes on the "topos" level