关于极大曲线的亏格

关于 F_{q^2}-极大曲线的亏格 g 的已有结果得到改进：(1) 要么 g≤(q^2-q+4)/6，要么 g=\lfloor(q-1)^2/4\rfloor，要么 g=q(q-1)/2；(2) 证明了 \cite{at} 中某个特定 Weierstrass 点存在性的假设；(3) 对于 q≡1(mod 3)，q≥13，不存在亏格为 (q-1)(q-2)/3 的 F_{q^2}-极大曲线；(4) 对于 q≡2(mod 3)，q≥11，方程 y^q+y=x^{(q+1)/3} 的平面曲线的非奇异 F_{q^2}-模型是亏格 g=(q-1)(q-2)/6 的唯一 F_{q^2}-极大曲线；(5) 假设 \dim(\cD_\cX)=5，且 char(\fq)≥5。对于 q≡1(mod 4)，q≥17，方程 x^{(q+1)/2}+y^{(q+1)/2}+1=0 的 Fermat 曲线是亏格 g=(q-1)(q-3)/8 的唯一 F_{q^2}-极大曲线。对于 q≡3(mod 4)，q≥19，恰有两个亏格 g=(q-1)(q-3)/8 的 F_{q^2}-极大曲线，即上述 Fermat 曲线与方程 y^q+y=x^{(q+1)/4} 的平面曲线的非奇异 F_{q^2}-模型。上述结果借助 Castelnuovo 界与 Halphen 定理，特别是借助极值曲线，提供了关于极大曲线的一些新证据；例如见引言中所述的猜想。