有限域上 genus 为5的 maximal 曲线

有限域上的 maximal 曲线是指其点数达到上 Hasse-Weil-Serre 界的曲线。我们定义有限域$\mathbb{F}_q$的判别式为$d(\mathbb{F}_q):= \lfloor2\sqrt{q}\rfloor^2-4q$，该值出现在定义在$\mathbb{F}_q$上的一个 maximal 椭圆曲线的特征多项式的判别式中。本文我们考察在判别式为$-19$的有限域$\mathbb{F}_q$上是否存在一个 genus 为5的 maximal 曲线。利用此类曲线的自同构群，我们证明当$q\equiv 2,3,4 \mod 5$时，此类曲线不存在。在$q\equiv 1\mod 5$的情况下，我们给出潜在 maximal 曲线的模型。最后，对于$q\equiv 0\bmod 5$的情况，我们证明此类曲线仅在$q=5^7$时可能存在。