具有二次进入轨迹的代数簇, I

类型为 $\delta$ 的二次进入轨迹流形 $X\subset\mathbb P^N$ 是维数 $n\geq 1$ 的光滑射影簇，使得由张成过割线簇 $SX\subseteq\mathbb P^N$ 的一般点的割线的点所描述的 $X$ 上的轨迹是一个光滑二次超曲面，其维数 $\delta=2n+1-\dim(SX)$ 等于 $X$ 的割线亏格。这些流形广泛而自然地出现在具有特殊几何性质和/或极端切行为的射影簇中。我们证明，令 $\delta=2r_X +1\geq 3$ 或 $\delta=2r_X+2$，则 $2^{r_X}$ 整除 $n-\delta$。这是通过研究过 $X$ 的一般点 $x$ 的直线的 Hilbert 概形 $Y_x\subset \mathbb(T_x^*)$ 的射影几何而得到的，并允许归纳步骤。上述整除性质给出了关于 $QEL$-流形的许多结果的统一且简单的证明，例如类型 $\delta\geq n/2$ 者的完全分类、类型 $(2,3)$、$(2,5)$ 的 Cremona 变换的分类。特别地，我们提出了 Severi 簇维数为 2、4、8 或 16 这一事实的新的极短证明，以及几乎自包含半页的由其分类(Zak 所证)的证明。