关于某些射影簇的割线轨迹与简单线性投影

本文研究当投影中心在环境空间中移动时，某些射影簇的简单线性投影的行为。更精确地说，设 $X \subset \P^r$ 是一个满足某个 $p \geq 2$ 的Green-Lazarsfeld性质 $N_p$ 的射影簇，$q \in \P^r$ 是 $X$ 外部的一个闭点，$X_q := \pi_q (X) \subset \P^{r-1}$ 是从 $q$ 出发的 $X$ 的投影像。首先，我们证明了 $X$ 关于 $q$ 的割线轨迹 $\Sigma_q (X)$，即 $X$ 上所有使得通过 $q$ 的割线经过该点的点集，要么是空集，要么是 $\P^r$ 某个子空间中的二次曲面。这意味着有限态射 $\pi_q : X \to X_q$ 是双有理的。我们的主要结果是，$X_q$ 的上同调性质和局部性质完全由 $\Sigma_q (X)$ 决定。为了完善这一结果，下一步应该对所有可能的割线轨迹进行分类，并通过割线轨迹的分类来分解环境空间。我们对于Veronese嵌入和Segre嵌入得到了这样的分解。此外，作为主要结果的一个应用，我们研究了低次簇的上同调性质。