secant variety 的局部 icle

给定光滑射射变换 X 的充分大的嵌入 $X\subset\mathbb{P}^N$，我们考虑其 secant variety $\Sigma$，其嵌入 $\Sigma\subset\mathbb{P}^N$ 由其构造方式决定。在本文中，我们确定了该嵌入的局部 icle 维数 $\textrm{lcd}(\mathbb{P}^N,\Sigma)$，以及 Hodge 过滤在最上层非消失局部 icle 模块 $\mathcal{H}^{q}_{\Sigma}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N})$ 上的生成层级（即当 $q=\textrm{lcd}(\mathbb{P}^N,\Sigma)$ 时）。此外，我们证明若且仅当 $X\cong\mathbb{P}^1$ 时，$\Sigma$ 具有 quotient 奇点（此时已知等式 $\textrm{lcd}(\mathbb{P}^N,\Sigma)=\textrm{codim}_{\mathbb{P}^N}(\Sigma)$ 成立）。我们还提供了 $(X,L)$ 完全分类，以判定 $\Sigma$ 是否具有 ($\mathbb{Q}$-)Gorenstein 奇点。据此推论，若 $\Sigma$ 为局部 complete intersection，则要么 $X$ 与 $\mathbb{P}^1$ 同构，要么为椭圆曲线。