以双次 $(1,d)$ 嵌入的 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 的高阶割线簇

令 $X^{(n,m)}_{(1,d)}$ 表示 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 通过层 $\mathcal{O}(1,d)$ 的截面进行的 Segre-Veronese 嵌入。我们研究了 $X^{(n,m)}_{(1,d)}$ 的高阶割线簇的维数，并证明了除了可能的 $n$ 个 $s$ 值外，不存在有缺陷的第 $s$ 阶割线簇。此外，当 ${m+d \choose d}$ 是 $(m+n+1)$ 的倍数时，对于每个 $s$，$X^{(n,m)}_{(1,d)}$ 的第 $s$ 阶割线簇都具有期望的维数。