关于切线簇的割线簇

设 $X\subset \mathbb{P}^r$ 为一个整的且非退化的簇。设 $\sigma _{a,b}(X)\subseteq \mathbb{P}^r$，$(a,b)\in \mathbb{N}^2$，为 $X$ 的 $a$ 个拷贝与 $X$ 的切线簇的 $b$ 个拷贝的联。利用经典的 Alexander-Hirschowitz 定理（情形 $b=0$）以及 H. Abo 和 N. Vannieuwenhoven 近期的一篇论文（情形 $a=0$），我们在 $X$ 为 $\mathbb{P}^n$ 的 $d$ 次 Veronese 嵌入时，于许多情形下计算了 $\dim \sigma _{a,b}(X)$。这与齐次多项式的某些加性分解相关。我们给出一个一般定理，证明当 $X=Y\times \mathbb{P}^1$ 在 $\mathbb{P}^r$ 中具有合适的 Segre-Veronese 型嵌入时，$\dim \sigma _{0,b}(X)$ 为期望维数。作为推论，我们证明若 $d_i\ge 3$，$1\le i \le n$，且 $(d_1+1)(d_2+1)\ge 38$，则由 $|\mathcal{O} _{(\mathbb{P} ^1)^n}(d_1,\dots ,d_n)|$ 嵌入的 $(\mathbb{P}^1)^n$ 的切线簇无亏格，并对 $\mathbb{P}^n\times \mathbb{P}^1$ 有类似结论。对于任意 $X$ 及 $X$ 上的丰富线丛 $L$，我们证明存在整数 $k_0$，使得对所有 $t\ge k_0$，$X$ 关于 $|L^{\otimes t}|$ 的切线簇无亏格。