双齐次多项式分解的唯一性结果

本文第一部分精确描述了任意双齐次多项式 $p$（即 $S^{d_1}V_1\otimes S^{d_2}V_2$ 中的部分对称张量，其中 $V_1,V_2$ 是两个有限维复向量空间）当其关于 Segre-Veronese 簇 $S_{d_1,d_2}(V_1,V_2)$ 的秩至多为 $\min \{d_1,d_2\}$ 时的所有极小分解。这样的多项式可能没有唯一的极小分解 $p=\sum_{i=1}^r\lambda_i p_i$，其中 $p_i\in S_{d_1,d_2}(V_1,V_2)$，$\lambda_i$ 为系数，但我们可以证明存在唯一的 $p_1, \ldots , p_{r'}$，$p_{1}', \ldots , p_{r''}'\in S_{d_1,d_2}(V_1,V_2)$，两个唯一的线性形式 $l\in V_1^*$，$l'\in V_2^*$，以及两个唯一的二元多项式 $q\in S^{d_2}V_2^*$ 和 $q'\in S^{d_1}V_1^*$，使得要么 $p=\sum_{i=1}^{r'} \lambda_i p_i+l^{d_1}q$，要么 $p= \sum_{i=1}^{r''}\lambda'_i p_i'+l'^{d_2}q'$（$\lambda_i, \lambda'_i$ 为适当的系数）。本文第二部分聚焦于 Segre-Veronese 簇的切触簇。我们计算了其张量的秩（该结果对更多因子的 Segre-Veronese 簇也有效），并描述了两因子 Segre-Veronese 簇切触簇中元素的分解结构。