低秩齐次多项式的分解

设 $F$ 是定义在特征为零的代数闭域上的 $m+1$ 个变量的 $d$ 次齐次多项式，并假设 $F$ 属于标准 Veronese 簇 $X_{m,d}\subset \mathbb{P}^{{m+d\choose d}-1}$ 的第 $s$ 个割线簇，但其作为线性形式 $M_1, ..., M_r$ 的 $d$ 次幂之和的最小分解为 $F=M_1^d+... + M_r^d$，其中 $r>s$。我们证明，如果 $s+r\leq 2d+1$，那么 $F$ 的这种分解可以分成两部分：一部分由仅使用两个变量即可写出的线性形式构成，另一部分在固定第一部分后唯一确定。如果秩至多为 $d$ 且满足一个温和条件，我们还得到了 $F$ 最小分解的唯一性定理。