完全可分解形式簇的非缺陷割线簇

经典数论中 Waring 问题的一个变体是："最小的数 $s$ 是多少，使得 $n+1$ 个变量中任意一般的 $d$ 次齐次多项式都可以写成至多 $s$ 个线性形式乘积之和？" 这个问题可以通过几何方式回答，即确定最小的 $s$，使得完全可分解形式簇的 $s$ 阶割线簇填满 ambient 空间。如果该割线簇具有期望维数，则称其为非缺陷的，此时 $s=\left\lceil\binom{n+d}{d}/(dn+1)\right\rceil$。猜想认为，除非 $d=2$ 且 $2\leq s\leq\frac{n}{2}$，否则割线簇总是非缺陷的。我们证明了该猜想的若干特例。具体而言，我们定义了函数 $s_1$ 和 $s_2$，使得当 $n\geq 3$ 且 $s\leq s_1(d)$，或当 $n=3$ 且 $s\geq s_2(d)$ 时，割线簇是非缺陷的；同时定义了一个函数 $c$，使得当 $d\geq n\geq 4$ 且 $s\leq 2^{n-3}c(n,d)$ 时，割线簇是非缺陷的。我们进一步表明，除非 $d=2$ 且 $2\leq s\leq\frac{n}{2}$，否则当 $s\leq 30$ 时割线簇是非缺陷的。