极值情形附近的割线亏值流形分类

设 $X\subset \P^N$ 为复数域上 $n$ 维非退化不可约闭子簇，$SX\subset\P^N$ 为其割线簇。若 $\dim(SX)$ 严格小于预期维数 $2n+1$，则称 $X\subset\P^N$ 为“割线亏值的”。F.L. Zak 在 \cite{Z1} 中证明，对于割线亏值流形，必有 $N\le{n+2 \choose n}-1$，且 Veronese 簇 $v_2(\P^n)$ 是唯一的边界情形。最近，R. Mu$\tilde{\textrm{n}}$oz、J. C. Sierra 和 L. E. Solá Conde 在 \cite{MSS} 中分类了紧邻此极值情形的割线亏值簇。本文考虑 $N={n+2 \choose n}-1-\epsilon$（$\epsilon\ge0$）的 $n$ 维割线亏值流形 $X\subset\P^N$。首先，通过证明 $X$ 的切向行为足够好以应用 Scorza 引理，我们证明当 $\epsilon\le n-2$ 时 $X$ 是 $\delta=1$ 型 $LQEL$-流形（见定理 \ref{main_thm}）。然后，利用 \cite{IR1} 中给出的锥连通流形分类，我们完全描述上述流形。我们的方法推广了 \cite{Z1,MSS} 中的先前结果。