射影曲面上 Severi 簇的正则性的一些结果

对于光滑射影曲面 $S$ 上的线性系 $|C|$,其一般元为光滑不可约曲线,Severi 簇 $V_{|C|, \delta}$ 是 $|C|$ 中参数化具有恰好 $\delta$ 个节点作为奇点的不可约曲线的局部闭子概型。本文给出除子类上的数值条件以及对 $\delta$ 的上界,以保证相应的 Severi 簇在 $|C|$ 中处处光滑且余维数为 $\delta$(简称正则)。我们特别关注一般型曲面,因为对此类曲面所知者较其他情形之已证结果为少。我们的结果推广了 Chiantini-Sernesi (1997) 与 Greuel-Lossen-Shustin (1997——节点情形) 的一些结果,如爆破曲面或 $\P^3$ 中作为 Noether-Lefschetz 轨迹的某一分支的元上的若干 Severi 簇例子所示。我们还考虑了 $\P^3$ 中一般型且含有一条直线的曲面上正则 Severi 簇的例子。