阿贝尔曲面上曲线的 Severi 簇与 Brill-Noether 理论

K3 曲面上曲线的 Severi 簇与 Brill-Noether 理论已得到充分理解。然而，关于阿贝尔曲面上曲线的认识却相当匮乏。给定一个具有类型 $(1,n)$ 的极化 $L$ 的一般阿贝尔曲面 $S$，我们证明了参数化线性系统 $|L|$ 中 $\delta$-结点曲线的 Severi 簇的非空性与正则性，其中 $0\leq \delta\leq n-1=p-2$（此处 $p$ 是 $|L|$ 中任意曲线的算术亏格）。我们还表明，一条以某个 $(1,n)$-极化阿贝尔曲面的超平面截面作为结点模型的一般亏格 $g$ 曲线，在平移意义下仅允许有限多个这样的模型；此外，任何此类模型位于有限多个 $(1,n)$-极化阿贝尔曲面上。在某些假设下，证明了 Dedieu 和 Sernesi 关于将 $S$ 中一条亏格 $g$ 曲线等亏格形变到一条结点曲线的可能性的猜想。论文的其余部分处理 $|L|$ 中曲线的 Brill-Noether 理论。结果表明，$|L|$ 中的一般曲线是 Brill-Noether 通用的。然而，一旦 Brill-Noether 数为负且满足某些其他不等式，拥有 $g^r_d$ 的 $|L|$ 中光滑曲线的轨迹 $|L|^r_d$ 非空，并且具有预期维数的一个分支。作为一个应用，我们得到了 Brill-Noether 轨迹 $\mathcal{M}^r_{p,d}$ 在曲线模空间 $\mathcal{M}_p$ 中具有预期余维数的一个分支的存在性。对于 $r=1$，结果推广到结点曲线。