$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$-不变子空间中 3-设计的构造

我们提出了一个统一的框架，用于从$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$-不变子空间$\mathbb{F}_q[X,Y]_k$（即次数为$k$的齐次多项式空间）中构造 $3$-设计。给定这样的子空间$W$，我们关联一个$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$-不变的$k$子集族$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$。每当这个族非空时，它就形成一个$3\text{-}(q+1,k,\lambda)$设计。当$k\leq q$时，$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$上的评估映射将$W$识别为射影 Reed--Solomon 码的一个子码。我们还表明，$C_W$中最小权重 codewords 的支持，以及适当的固定权重 codewords 在对称码$C_W^\perp$中的支持，进一步产生 $3$-设计。通过 Cayley 变换，该构造传递到单位圆$U_{q+1}\subseteq \mathbb{F}_{q^2}^{\times}$上，在此处块条件变为初等对称函数之间的显式线性关系。将该框架应用于 Lucas 子空间，我们获得显式的块描述，分类定义条件化简为单个方程的情况，确立若干非空与非空结果。特别地，对于$q=p^e$且$k=p^m+1$，我们证明相关联的块族非空当且仅当$m\mid e$，此时它产生Steiner 系统$S(3,p^m+1,q+1)$。最后，在三进制情况$p=3$且$k=7$时，我们利用三进制 Melas 码的权重分布确定Xu 等人（Designs, Codes and Cryptography: Vol. 92, 2024）无法确定的设计参数。