关于向量与余向量不变域的研究

设 ${\mathbb{F}_{q}}$ 为 $q$ 阶有限域。令 $G$ 为 ${\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$、${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$ 或 ${\rm U}(n, \mathbb{F}_q)$ 这三个群之一，并令 $W$ 为 $G$ 的标准 $n$ 维表示。对于非负整数 $m$ 和 $d$，我们用 $mW\oplus d W^*$ 表示由 $m$ 个向量与 $d$ 个余向量的直和给出的 $G$ 的表示。我们给出了一个极小齐次不变多项式集合 $\{\ell_1,\ell_{2},\dots,\ell_{(m+d)n}\}\subseteq \mathbb{F}_q[mW\oplus d W^*]^G$，使得除 $md=0$ 且 $G={\rm GL}(n, \mathbb{F}_q)$ 或 ${\rm SL}(n, \mathbb{F}_q)$ 的情形外，对所有情况均有 $\mathbb{F}_q(mW\oplus d W^*)^G=\mathbb{F}_q(\ell_1,\ell_2,\dots,\ell_{(m+d)n})$。